Каталог книг

В. А. Горбунов Проблема Гольдбаха

Перейти в магазин

Сравнить цены

Описание

Разбиение числовой оси на интервалы, границами которых являются члены праймориальных последовательностей системы (1.1) позволяет на этих интервалах натуральные числа разбить на два множества. Для интервала (0;p#k) в первое множество (обозначаемое {Np#k }) входят простые числа, образующие праймориал p#k и числа, кратные множителям праймориала. Во второе множество (обозначаемое {N}) входят числа взаимно простые с праймориалом p#k. Сюда входят: единица, все простые числа рi, интервала (pk;p#k ) и составные числа qi, являющиеся всевозможными произведениями простых чисел рi и удовлетворяющими условию qi (0;p#k) . Количество элементов множества {N} определяется функцией Эйлера и равно ( p#k).

Характеристики

  • Форматы

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
Доксиадис А. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха. Математико-художественный мировой бестселлер Доксиадис А. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха. Математико-художественный мировой бестселлер 520 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
В. А. Горбунов Проблема Гольдбаха В. А. Горбунов Проблема Гольдбаха 49.9 р. litres.ru В магазин >>
Горбунов В. Шиншилла от А до Я Горбунов В. Шиншилла от А до Я 62 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Горбунов А., Сергеева В. Мистерии Йоркского цикла Горбунов А., Сергеева В. Мистерии Йоркского цикла 3406 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Горбунов А. Виктор Маслов Горбунов А. Виктор Маслов 555 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Горбунов А. Лобановский Горбунов А. Лобановский 770 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Горбунов А. Анатолий Тарасов Горбунов А. Анатолий Тарасов 693 р. chitai-gorod.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

Проблема Гольдбаха скачать fb2, rtf, epub, pdf, txt книгу В

Проблема Гольдбаха О книге "Проблема Гольдбаха"

Разбиение числовой оси на интервалы, границами которых являются члены праймориальных последовательностей системы (1.1) позволяет на этих интервалах натуральные числа разбить на два множества. Для интервала (0;p#k) в первое множество (обозначаемое ) входят простые числа, образующие праймориал p#k и числа, кратные множителям праймориала. Во второе множество (обозначаемое ) входят числа взаимно простые с праймориалом p#k. Сюда входят: единица, все простые числа рi, интервала (pk;p#k ) и составные числа qi, являющиеся всевозможными произведениями простых чисел рi и удовлетворяющими условию qi ? (0;p#k) . Количество элементов множества определяется функцией Эйлера и равно ?( p#k).

Произведение относится к жанру Прочая образовательная литература. На нашем сайте можно скачать книгу "Проблема Гольдбаха" в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt или читать онлайн. Здесь так же можно перед прочтением обратиться к отзывам читателей, уже знакомых с книгой, и узнать их мнение. В интернет-магазине нашего партнера вы можете купить и прочитать книгу в бумажном варианте.

Скачать книгу Отзывы читателей Подборки книг

Новогодние и рождественские книги

Сложное искусство гейши

Романы про принцесс

Похожие книги

Самылкина Надежда Николаевна, Островская Екатерина Михайловна

Источник:

avidreaders.ru

Глава XIII

Глава XIII. Проблема Гольдбаха

В предыдущей главе мы познакомились с вопросом распределения простых чисел среди всех натуральных. Оказалось, что простые числа, расположенные сравнительно густо в начале натурального ряда, в дальнейшем становятся всё реже и реже, промежутки между ними становятся всё больше и больше. В этих промежутках попадаются числа, представляющие собою сумму двух простых чисел. Вот, например, числа первого десятка: 1 (в счёт не идёт); 2 (простое); 3 (простое); 4(4 = 2 + 2 - сумма двух простых); 5 (простое); 6(3 + 3 - сумма двух простых); 7 (простое); 8 (3 + 5 - сумма двух простых); 9 (2 + 7 - сумма двух простых); 10 (3 + 7 - сумма двух простых). Мы видим, что все числа первого десятка или являются простыми, или представляют собой сумму двух простых. Но уже 27 представить в виде такой суммы не удаётся. Зато 27 можно записать как сумму трёх простых слагаемых: 27 = 3 + 11 + 13. Спрашивается, для какого натурального числа трёх простых слагаемых не будет уже достаточно? Какое наименьшее число будет суммой не меньше, чем четырёх, пяти и т. д. простых слагаемых?

Число и наука о нем

Подобные задачи можно ставить применительно не только к простым числам. Математиков давно интересует вопрос, как заданное число записать в виде суммы некоторого числа квадратов. Если это возможно, то сколькими способами осуществляется разложение? Те же вопросы можно поставить для разложения числа на сумму кубов и т. д. Возникает своеобразная область Теории Чисел, в которой вместо делителей и множителей приходится иметь дело со слагаемыми и суммами. Её называют аддитивной теорией чисел, производя название от латинского слова additio (аддицио), что значит "сложение". Что касается той части Теории Чисел, которая имеет дело с множителями и делителями (учение о делимости и т. д.), то она носит название мультипликативной теории чисел (от латинского multiplicatio - мультипликацио,- что значит "умножение").

Вернёмся к простым числам, именно к задаче о представлении любого числа в виде суммы некоторого количества простых. Этой задачей более двухсот лет тому назад занялся член Петербургской Академии наук Хр. Гольдбах. Он перепробовал очень много чисел, пытаясь разложить их на сумму простых, и пришёл к убеждению, что трёх слагаемых всегда достаточно. Не сумев доказать это предложение, не найдя даже путей к доказательству, он написал о. нём своему другу Эйлеру, с которым уже без малого 15 лет переписывался и который был тогда в зените славы. В письме от 7 июня 1742 г. Гольдбах сообщил Эйлеру, что рискует высказать следующее предположение: "любое число, большее пяти, представляет собой сумму трёх простых". Эйлер ответил, что считает безусловно верной теоремой утверждение, что каждое чётное число есть сумма двух простых. Отсюда, как простое следствие, получается утверждение Гольдбаха (почему?). Впрочем и Эйлер доказательства не дал.

Итак, поставлена следующая задача (её называют "проблемой Гольдбаха"): требуется доказать или опровергнуть предложение: "всякое число, большее единицы, является суммой не более трёх простых чисел". Ни современники Гольдбаха и Эйлера, ни даже математики прошлого - XIX - столетия почти ничего не смогли сделать для решения этой задачи. Правда, Г. Кантор, один из оригинальнейших математиков прошлого века, терпеливо перепробовал все чётные числа от 2 до 1000, а Обри - от 1000 до 2000; они убедились, что в этих пределах любое чётное число является суммой двух простых. В 1911 г. Е. Меле показал, что подавляющее число чётных чисел от 4 до 9 000 000 являются суммами двух простых; исключений может быть не больше четырнадцати (т. е. для 4499 986 чётных чисел утверждение Гольдбаха наверняка справедливо). Наконец, на рубеже XX века появляется ряд работ, пытающихся наметить пути решения этой проблемы или связать её с другими задачами математики. Но для строгого её доказательства ничего сделать не удалось, и в 1912 г. крупнейший знаток теории чисел Э. Ландау высказал на международном конгрессе математиков предположение, что эта задача средствами современной математики вообще неразрешима.

В 1923 г. двум английским математикам - Гарди и Литтлвуду, о которых мы уже говорили, - удалось добиться некоторого сдвига в попытках найти решение гольдбаховской задачи. Им удалось связать проблему Гольдбаха с одной из труднейших и интереснейших задач специальной главы высшей математики, называемой теорией аналитических функций. Эта задача тоже до конца не решена, но открывшаяся связь между двумя, казалось бы, разнородными ветвями науки, оказалась плодотворной и привела к ряду открытий.

Решительный перелом наступил в 1930 г. Советскому математику Льву Генриховичу Шнирельману (1905-1938 гг.), талантливому учёному, удалось так видоизменить задачу, что с помощью им же придуманных путей он сумел её решить. Именно, видя бесплодность попыток доказать утверждение Гольдбаха в его первоначальном виде, Шнирельман поставил родственную ей задачу, на вид более сложную, но по существу значительно более простую. Он, как говорят математики, "ослабил" требования задачи Гольдбаха. Гольдбах требует, чтобы каждое натуральное число являлось суммой не более трёх простых. Можно потребовать, чтобы каждое натуральное число, было суммою не более четырёх, пяти. ста простых. Эти требования, очевидно, слабее гольдбаховских: число, разложимое в сумму ста, может не разлагаться в сумму трёх простых.

Наконец, можно, что и сделал Шнирельман, поставить вопрос так: существует ли какое-то вполне определённое, но нам неизвестное целое число (обозначим его буквою С), такое, что любое натуральное число можно представить в виде суммы не более чем С простых слагаемых?

Иными словами, каково бы ни было натуральное число N, всегда можно написать

где р1, р2. pn - простые числа, а n наверное меньше (или в крайнем случае равно) С. Если удастся доказать, что С = 3, то утверждение Гольдбаха будет доказано. Эту "ослабленную" теорему Гольдбаха Шнирельману удалось доказать полностью. Само, пока неизвестное, число С с тех пор называют "числом Шнирельмана" или "константой Шнирельмана" (слово constanta - константа - значит по-латыни "постоянная"). Значит, утверждение Гольдбаха можно сформулировать и так: "константа Шнирельмана равна трём". Но этого мало. Самый точный анализ метода Шнирельмана, сделанный разными математиками (Романов, Ландау, Хейльборн, Риччи), позволил получить оценку константы Шнирельмана; будучи очень большой, она постепенно была уменьшена до 67.

Отсюда до гольдбаховской тройки, конечно, очень далеко! Но важно то, что это доказано для любых чисел, сколь бы велики они ни были. Относительно какого-нибудь совершенно фантастического числа вроде

или нашего знакомца 9 9 9 , для записи которого нужно 30 томов, тоже можно утверждать, что 67 простых слагаемых достаточно для их представления. Даже скьюзовский гигант 10 10 10 34 , совершенно не поддающийся восприятию, можно, на основании доказательства Шнирельмана, представить в виде суммы не более 67 простых слагаемых (некоторые из этих слагаемых сами неизмеримо велики: гораздо больше числа 9 9 9 ). Значит, результат Шнирельмана является огромным достижением; а главное - проложены новые пути, придуманы новые способы подхода к решению старой задачи. Значит, можно ждать и новых результатов. Так оно и получилось.

В 1937 г. в учёном мире произошло событие, совершенно неожиданное для математиков. Академик Иван Матвеевич Виноградов, ныне Герой Социалистического Труда и лауреат Сталинской премии, тогда уже известный всему учёному миру своими работами по аддитивной теории чисел, почти полностью решил проблему Гольдбаха, ещё так недавно считавшуюся недоступной.

Результат, полученный И. М. Виноградовым, можно сформулировать так: для всех достаточно больших нечётных чисел проблема Гольдбаха решена полностью; или так: константа Шнирельмана для достаточно больших нечётных чисел не превосходит трёх.

Почему же нельзя решение И. М. Виноградова считать полным, окончательным решением проблемы Гольдбаха; откуда взялось то злополучное "почти", о котором упоминалось выше? Дело в том, что Эйлер и Гольдбах утверждали,- и это для сравнительно небольших чисел подтвердилось на опыте,- что любое чётное число является суммой двух простых. Отсюда уже, как следствие, вытекало, что любое нечётное есть сумма не более чем трёх простых. Виноградов же доказал именно последнее утверждение о нечётных числах; отсюда непосредственно следует, что для любого чётного достаточно четырёх простых слагаемых; но достаточно ли двух,- этот вопрос остаётся открытым. Кроме того, по Виноградову, утверждение Гольдбаха справедливо для всех достаточно больших нечётных чисел, иными словами, начиная с некоторого большого числа, которое некоторое время оставалось неизвестным.

В 1939 г. оно было вычислено молодым советским математиком К. Г. Бороздкиным. Это большое число может быть записано так:

где число e есть основание натуральных логарифмов: e = 2,7182. Остаётся значительно снизить найденное К. Г. Бороздкиным число и тогда непосредственно проверить все меньшие числа,- работа, которой занимались Кантор и Обри в пределах первых двух тысяч.

Мы задержались на проблеме Гольдбаха не только потому, что она очень интересна с разных точек зрения, но и потому ещё, что ею смело может гордиться русская наука. Поставлена она была в Петербурге - нынешнем Ленинграде; первый сдвиг в её решении после почти двухсотлетнего топтания на месте сделал советский учёный - Л. Г. Шнирельман, и решил её тоже наш академик - И. М. Виноградов.

Источник:

mathemlib.ru

Персоналии: Горбунов Валентин Алексеевич

В. А. Горбунов Проблема Гольдбаха

Горбунов Валентин Алексеевич

Основные темы научной работы

Горбунов Валентин Алексеевич, 1939 года рождения, в 1966 году закончил механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова. С 1967 года по 2006 год – доцент кафедры Высшей математики Московского горного Государственного университета. Имею публикации в различных областях математики и механики сплошных сред. Теорией чисел занимаюсь с 1999 года. Последние публикации по этому направлению «Праймориал и распределение простых чисел», - 161 с., М., 2010, Издательство «Горная книга» и «Неправильные распределения простых чисел», 29 с., М., 2015. Издательство «Горная книга».

  1. В. А. Горбунов, Праймориал и распределение простых чисел , Горная книга, Москва, 2010, 161 с.
  2. В. А. Горбунов, Проблема Гольдбаха , Горная книга, Москва, 2013, 29 с.
  3. В. А. Горбунов, Неправильные распределения простых чисел , Горная книга, Москва, 2015, 31 с.

В. А. Горбунов, М. С. Шеремет

Алгебра и логика , 39 :1 (2000), 23–46

В. А. Горбунов, А. В. Кравченко

Алгебра и логика , 39 :1 (2000), 3–22

Матем. заметки , 35 :5 (1984), 641–645

Источник:

www.mathnet.ru

Проблема Гольдбаха

/ Проблема Гольдбаха. Дополнение - Белотелов Виктор Александрович

Данная работа является дополнением к работе «Проблема Гольдбаха. Решение.».

Вначале была предпринята попытка решить проблему Гольдбаха (ПГ) с использованием представления простых чисел (ПЧ) в виде системы из восьми арифметических прогрессий с разностью d=30 (смотри работу «Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел»). Что – то не пошло тогда решение. Но наработки остались.

Потом была статья «Проблема Гольдбаха. Решение.», в которой было объяснено, почему в каждом третьем числе ряда чётных чисел возрастает число пар ПЧ, составляющих в сумме эти числа (табл. 2 и табл. 5).

Если бы табл. 2 из этой работы расписать для большего ряда чётных чисел, было бы замечено, что особенно много пар ПЧ в числах кратных 30.

Объяснение этому будет таким. ПЧ могут в ряду натуральных чисел появляться с последовательностью интервалов 6-4-2-4-2-4-6-2. ПЧ 2, 3, 5 не рассматриваются.

При решении ПГ использовалось построение двух рядов нечётных чисел, - верхнего ряда (ВР) – слева направо, и нижнего ряда (НР) – справа налево. И множество чётных чисел разбивалось на три подмножества.

В представляемой таблице на примерах рассмотрены поиски ПЧ, дающих в сумме N для чётных чисел 60 ? 90.

Из примера видно, что при разбиении ряда чётных чисел на 15 подмножеств достигается более точная иллюстрация для ПГ.

Лишь там, где окончания скоб ВР и НР совпадают и могут находиться пары ПЧ.

Для чисел кратных 30, вероятность таких пар максимальна.

Для остальных подмножеств заинтересованный читатель закономерность и сам рассмотрит.

Число пар ПЧ дающих в сумме N - (в скобках с учётом чисел 3,5)

Число совпадений концов скоб на цикле интервалов 6-4-2-4-2-4-6

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:

Источник:

studfiles.net

Решена одна из старейших и сложнейших математических задач: Наука: Наука и техника

Бог любит троицу

В середине мая 2013 года математик из Перу, в настоящее время работающий во Франции, Харальд Хельфготт выложил в архив препринтов Корнельского университета статью «Большие дуги для теоремы Гольдбаха». Эта статья объемом 133 страницы содержит финальную часть доказательства (начатого на заре XX века великим советским математиком Иваном Виноградовым) так называемой тернарной проблемы Гольдбаха — одной из старейших задач в теории чисел.

Май 2013 года стал совершенно удивительным месяцем для теории чисел (точнее, аналитической теории чисел, но это уже детали для специалистов): буквально за одну неделю стало известно о прогрессе в двух сложнейших проблемах, относящихся к так называемым аддитивным задачам. Если грубо, то это целый класс задач, которые имеют дело с представлением одних чисел в виде суммы других, причем эти другие берутся из какого-нибудь специального класса. Соответственно, большинство задач сводится к тому, существуют ли указанные представления и если да, то сколько их. Ответ на последний вопрос, конечно, дается не точный, а в виде какой-нибудь примерной оценки. К задачам этого класса относятся, например, задача Лежандра о представлении целого числа в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел, задача о представлении натурального числа в виде суммы пяти квадратов простых чисел (простыми, напомним, называются числа, которые делятся только на себя и на единицу).

К аддитивным задачам относится общая проблема Варинга. В 1770 году Эдвард Варинг опубликовал работу, в которой высказал гипотезу: всякое натуральное число является суммой четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней. В более общем и современном виде эта задача формулировалась так: доказать, что для любого k существует число g(k), зависящее только от k, такое, что всякое натуральное число является суммой g неотрицательных k-ых степеней. Эта задача, кстати, была решена Давидом Гильбертом еще в 1909 году.

Одной из этих задач была и так называемая задача о простых числах-близнецах. Про нее «Лента.ру» подробно уже писала. Если коротко, то суть этой проблемы такова: нужно доказать, что количество простых чисел p, q, таких, что p - q = 2, бесконечно. В смысле аддитивных задач здесь решается вопрос о бесконечности количества представлений двойки в виде разности двух простых. Саму задачу пока решить не удалось, однако американский математик Итан Чжан сделал важный шаг: он доказал, что существует такое целое N, что множество пар простых чисел p, q c условием p - q = N бесконечно. Это стало существенным шагом вперед, поскольку раньше не было известно, бесконечно ли множество таких пар хоть для какого-нибудь N.

Другой же задачей, которую, в отличие от чисел-близнецов, удалось решить полностью, стала так называемая тернарная задача Гольдбаха.

Записки на полях

В 1725 году немецкий математик и юрист Кристиан Гольдбах переехал в Россию, чтобы стать постоянным членом только что открывшейся Петербургской академии наук. Дела у математика достаточно быстро пошли в гору, и его приблизили ко двору — спустя всего несколько лет он был личным репетитором юного Петра II. В 1742 году уже немолодой Гольдбах (ему было 52 года) решает закончить карьеру ученого и принимает позицию чиновника в Коллегии иностранных дел. 7 июня этого же, судьбоносного для Гольдбаха года математик пишет письмо Леонарду Эйлеру, на тот момент проживавшему в Пруссии. С Эйлером Гольдбах познакомился еще до приезда в Россию во время своего образовательного турне по Европе после окончания университета и с тех пор поддерживал дружеские отношения.

В конце письма, уже на полях, Гольдбах пишет следующую гипотезу: «Всякое целое число больше двух можно представить как сумму трех простых» (немецкий математик, в отличие от представлений современной теории чисел, считал единицу также простым числом). В ответном письме Эйлер напоминает Гольдбаху, что ранее в личной беседе тот высказывал похожую гипотезу: мол, любое четное целое число можно представить в виде суммы двух простых. При этом Эйлер был уверен, что «это несомненно верная теорема», но говорил, что он ее «доказать не в состоянии». Так на свет появилась гипотеза Гольдбаха, точнее даже две гипотезы сразу.

Материалы по теме

Братишка, ты цел?

Первая получила название тернарной (или слабой) гипотезы Гольдбаха. Она утверждает, что всякое нечетное целое число больше пяти представляется в виде суммы трех (не обязательно попарно различных) простых чисел. В свою очередь бинарная (или сильная) гипотеза Гольдбаха утверждает, что всякое целое четное число больше двух представляется в виде суммы двух (не обязательно различных) простых чисел. Эту гипотезу называют сильной потому, что слабая из нее вытекает: добавляя ко всем четным числам тройку, мы можем получить все возможные нечетные числа больше пяти.

Дуги большие и малые

К началу XX века гипотезы Гольдбаха, наряду с гипотезой Римана, стали одними из центральных задач теории чисел, войдя даже в состав знаменитой 8-й проблемы Гильберта.

Прорыв в решении этой задачи был совершен британскими математиками Гарольдом Харди и Джоном Литтлвудом. Тогда они изучали задачу Варинга (о ней говорилось выше). Развивая идеи самого Харди и Сириваса Рамануджана, заложенные в работах 1916-1917 годов, британские математики создали так называемый круговой метод. Его суть заключается в следующем: решение задачи (например, количество способов представить целое число в виде суммы трех простых) задается интегралом по единичной окружности от некоторого ряда. Этот интеграл разбивается на два, один из которых оценивается, а про другой доказывается его относительная малость. Составляющие первую сумму называются большими дугами, а вторую — малыми.

Если читатель споткнулся на этом месте, то вот как этот метод в беседе с «Лентой.ру» объяснил сам Харальд Хельфготт: «Анализ количества решений производится, по сути, посредством преобразования Фурье. Представьте себе, что простые числа — это звуки на некоторой записи, скажем, в моменты времени 2, 3, 5, 7, 11 и так далее микросекунд. После преобразования у вас получается своего рода шум, в котором вы пытаетесь услышать какие-то ноты. Среди них есть такие, которые слышны достаточно хорошо, — это и есть большие дуги. А есть частоты, которые просто являются шумовыми фрагментами, — это малые дуги. Весь метод распадается на две части — выделение нот и доказательство того, что остальное на самом деле шум. За первую часть метода отвечают оценки на большие дуги, за второй — на малые».

Используя свой метод, Харди и Литтлвуд сумели доказать тернарную гипотезу Гольдбаха. Однако у их доказательства был один, но крайне существенный изъян, который, по сути, перечеркивал всю работу: в статье они опирались на недоказанную обобщенную гипотезу Римана. Если коротко, то это некоторое утверждение о решениях одного уравнения — в гипотезе говорится, что все эти решения лежат на одной прямой на плоскости. Это утверждение настолько сложное, что оно не доказано до сих пор, и ее упрощенный вариант (известный просто как гипотеза Римана) входит в список задач Тысячелетия института Клея, за решение каждой из которых полагается по миллиону долларов. Гильберт даже шутил, что если бы он уснул и проснулся через 500 лет, то первым делом спросил бы, доказана ли гипотеза Римана.

Метод Харди и Литтлвуда был усовершенствован советским математиком Иваном Виноградовым. Благодаря этому в 1937 году Виноградов без использования гипотезы Римана доказал вот такой факт: все нечетные целые числа, начиная с некоторого N, можно представить в виде суммы трех простых. «Пожалуй, основным достижением Виноградова были оценки на малые дуги. На самом деле в круговом методе это сложная часть, и оценки Виноградова на тот момент были просто потрясающие — они были результатом крайне нетривиальных комбинаторных рассуждений. Для оценки же больших дуг он использовал методологию, очень похожую на ту, которая была у Харди и Литтлвуда», — рассказал Хельфготт.

Доказано — не доказано

Прежде чем продолжить рассказ, сделаем важное отступление. С этого самого момента (то есть с 1937 года) советские математики и дружественные им считают тернарную проблему Гольдбаха решенной, в то время как зарубежные математики с этим несогласны. К несчастью, правы именно иностранцы: несмотря на то что Виноградов проделал уникальную работу, окончательно задача не была решена. Во-первых, Виноградов не оценил число N. Когда же это было сделано его учеником Константином Бороздиным, оказалось, что граница N в работе Виноградова составляет число порядка 10 6 846 168 . Даже сейчас численная проверка на компьютерах всех «оставшихся» случаев в работе Виноградова не представляется возможной. А значит (и это во-вторых), среди этих чисел может скрываться контрпример к утверждению тернарной гипотезы Гольдбаха. И пусть в существование такого контрпримера никто не верил, задача не могла считаться решенной.

С тех пор многие математики пытались улучшить результат Виноградова. Идея в основе всех этих попыток была довольно простой: улучшая оценки, добиться того, чтобы N стало достаточно малым. «Достаточно малым» в данном случае подразумевает такое значение, для которого гипотезу Гольдбаха можно проверить на компьютере.

«Я начал серьезно заниматься проблемой Гольдбаха в 2006 году, — рассказал "Ленте.ру" Хельфготт. — Достаточно быстро я понял, что могу улучшить существовавшие на тот момент оценки малых дуг. Результатом этой работы стали так называемые свободные от логарифмов оценки (эти результаты я получил достаточно быстро). Дальше работа двигалась намного медленнее — ведь я старался улучшать оценки не только количественно, но и качественно. С самого начала мне казалось, что без качественных улучшений в этой задаче не продвинуться».

В 2012 году свет увидела работа известного специалиста по теории чисел и филдсовского медалиста 2006 года Терренса Тао. Ему удалось показать, что всякое нечетное число представимо как сумма не более чем пяти простых чисел.

«Надо сказать, что появление работы Тао, посвященной пяти простым числам, подстегнуло меня. У меня появился повод собрать воедино все те идеи, которые на тот момент скопились у меня по поводу тернарной гипотезы Гольдбаха. Результатом этого стала работа, посвященная малым дугам. Еще год ушел у меня на работу по большим дугам», — рассказал Хельфготт.

Результатом трудов Хельфготта стала 133-страничная работа, которая содержит все необходимые оценки. Главная теорема звучит следующим образом: все нечетные целые числа, большие 10 29 , могут быть представлены в виде суммы трех простых. Ранее утверждение гипотезы Гольдбаха было проверено (самим Хельфготтом в сотрудничестве с Давидом Платтом) до 8,875 x 10 30 . Вместе эти два факта дают окончательное доказательство тернарной гипотезы Гольдбаха. Примечательно, что новая работа полагается на численные методы еще в одном месте: для доказательства пришлось проверить уже упоминавшуюся обобщенную гипотезу Римана для достаточно большого количества корней. Сделано это было Давидом Платтом.

«Я помог Платту, — говорит Хельфготт, — выбил ему время на суперкомпьютерах в разных местах. Впрочем, его вычисления нужны не только в этой задаче — они будут полезны и в других разделах математики».

Бинарная проблема Гольдбаха

Еще одним интересным результатом является теорема Чена — она утверждает, что всякое четное число представимо либо в виде суммы двух простых, либо в виде суммы простого и полупростого (числа, состоящего из произведения двух простых).

Для бинарной проблемы круговой метод не действует — влияние малых дуг там оказывается слишком сильным. В 1930 году Лев Шнирельман показал, что всякое четное число представимо в сумме не более чем С простых, где C - некоторая константа. Изначально она была очень большой: в 1969 году советский математик Климов показал, что C не превосходит 6 000 000 000.

Этот результат неоднократно улучшался — в 1995 году Оливер Рамаре показал, что всякое четное число представимо в виде суммы не более, чем шести простых. Примечательно, что новый результат Хельфготта позволяет улучшить результат Рамаре: вычитая из четного числа тройку, мы получаем нечетное, которое, как теперь известно, представимо в виде суммы трех простых. Стало быть, всякое четное число представимо в виде суммы четырех простых.

Сами же математики считают, что решение сильной проблемы Гольдбаха еще далеко.

Источник:

lenta.ru

В. А. Горбунов Проблема Гольдбаха в городе Новосибирск

В представленном каталоге вы всегда сможете найти В. А. Горбунов Проблема Гольдбаха по разумной цене, сравнить цены, а также посмотреть похожие предложения в группе товаров Техническая литература. Ознакомиться с характеристиками, ценами и рецензиями товара. Доставка выполняется в любой населённый пункт РФ, например: Новосибирск, Астрахань, Барнаул.